۱- برای هر کدام از محورها یک تساوی جمع بنویسید.
حاصل عبارت روبه‌رو را به دست آورید و با حاصل جمع بالا مقایسه کنید: $ \frac{۱+(-۳)}{۴} = $
با توجه به تساوی‌های زیر، توضیح دهید که چگونه می‌توانیم حاصل جمع و تفریق دو عدد گویا را با استفاده از جمع و تفریق دو عدد صحیح به دست آوریم.
**بخش اول: نوشتن تساوی جمع برای محورها**
- **محور بالا:** حرکت اول از مبدأ به اندازه $ +\frac{۱}{۳} $ و حرکت دوم به اندازه $ +\frac{۴}{۳} $ به سمت راست است. نقطه پایانی $ \frac{۵}{۳} $ است. تساوی جمع:
$ (+\frac{۱}{۳}) + (+\frac{۴}{۳}) = +\frac{۵}{۳} $
- **محور پایین:** حرکت اول از مبدأ به اندازه $ +\frac{۱}{۴} $ و حرکت دوم به اندازه $ -\frac{۳}{۴} $ به سمت چپ است. نقطه پایانی $ -\frac{۲}{۴} $ است. تساوی جمع:
$ (+\frac{۱}{۴}) + (-\frac{۳}{۴}) = -\frac{۲}{۴} $
**بخش دوم: محاسبه و مقایسه عبارت**
حاصل عبارت $ \frac{۱+(-۳)}{۴} $ به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$ \frac{۱+(-۳)}{۴} = \frac{-۲}{۴} $
**مقایسه:** حاصل این عبارت ($ -\frac{۲}{۴} $) با حاصل جمع محور پایین ($ -\frac{۲}{۴} $) **مساوی** است. از این مقایسه نتیجه می‌گیریم که برای جمع دو کسر با مخرج یکسان، می‌توانیم صورت‌ها را با هم جمع کرده و در مخرج مشترک بنویسیم: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $.
**بخش سوم: توضیح جمع و تفریق اعداد گویا**
تساوی‌های $ \frac{-۳}{۵} + \frac{۲}{۵} = \frac{-۳+۲}{۵} $ و $ \frac{-۳}{۷} - (\frac{-۴}{۷}) = \frac{-۳-(-۴)}{۷} $ نشان می‌دهند که **برای جمع یا تفریق دو عدد گویا (کسر) با مخرج‌های مساوی، کافی است صورت‌های آن‌ها را با یکدیگر جمع یا تفریق کرده و حاصل را در صورت کسر جدید بنویسیم و مخرج مشترک را حفظ کنیم.** به این ترتیب، عملیات روی اعداد گویا به یک عملیات ساده‌تر روی اعداد صحیح (در صورت کسرها) تبدیل می‌شود.
۱- مانند نمونه، حاصل هر یک از عبارت‌ها را به دست آورید.
برای محاسبه حاصل این عبارات، ابتدا تفریق را به جمع معکوس تبدیل کرده، سپس در صورت نیاز مخرج مشترک گرفته و در نهایت صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم.
- $ (-\frac{۷}{۹}) - (-\frac{۴}{۹}) = (-\frac{۷}{۹}) + (+\frac{۴}{۹}) = \frac{-۷+۴}{۹} = \frac{-۳}{۹} = -\frac{۱}{۳} $
- $ (-\frac{۶}{۱۱}) + (+\frac{۸}{۱۱}) = \frac{-۶+۸}{۱۱} = \frac{۲}{۱۱} $
- $ (-\frac{۶}{۱۱}) - (+\frac{۸}{۱۱}) = (-\frac{۶}{۱۱}) + (-\frac{۸}{۱۱}) = \frac{-۶-۸}{۱۱} = -\frac{۱۴}{۱۱} $
- $ -\frac{۶}{۱۱} - \frac{۸}{۱۱} = \frac{-۶-۸}{۱۱} = -\frac{۱۴}{۱۱} $
- $ (-\frac{۶}{۵}) + (-\frac{۱۲}{۲۵}) $: برای این عبارت که مخرج مشترک ندارد، ابتدا مخرج مشترک (۲۵) می‌گیریم.
$ (-\frac{۶ \times ۵}{۵ \times ۵}) + (-\frac{۱۲}{۲۵}) = (-\frac{۳۰}{۲۵}) + (-\frac{۱۲}{۲۵}) = \frac{-۳۰-۱۲}{۲۵} = -\frac{۴۲}{۲۵} $
۲- مانند نمونه، ابتدا مخرج‌ها را یکی کنید؛ سپس، جمع و تفریق‌ها را انجام دهید.
برای جمع و تفریق کسرهایی با مخرج متفاوت، ابتدا باید کوچک‌ترین مخرج مشترک (ک.م.م) را پیدا کرده، کسرها را هم‌مخرج کنیم و سپس صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق نماییم.
- $ -\frac{۳}{۴} + \frac{۲}{۳} $
ک.م.م مخرج‌های $۴$ و $۳$ عدد $۱۲$ است.
$ (-\frac{۳ \times ۳}{۴ \times ۳}) + (\frac{۲ \times ۴}{۳ \times ۴}) = -\frac{۹}{۱۲} + \frac{۸}{۱۲} = \frac{-۹+۸}{۱۲} = -\frac{۱}{۱۲} $
- $ \frac{۶}{۵} + \frac{۷}{۵} $
مخرج‌ها یکسان هستند، پس صورت‌ها را مستقیماً جمع می‌کنیم.
$ \frac{۶+۷}{۵} = \frac{۱۳}{۵} $
- $ -\frac{۲}{۵} - \frac{۲}{۳} $
ک.م.م مخرج‌های $۵$ و $۳$ عدد $۱۵$ است.
$ (-\frac{۲ \times ۳}{۵ \times ۳}) - (\frac{۲ \times ۵}{۳ \times ۵}) = -\frac{۶}{۱۵} - \frac{۱۰}{۱۵} = \frac{-۶-۱۰}{۱۵} = -\frac{۱۶}{۱۵} $
- $ \frac{۱}{۲} - \frac{۱}{۳} $
ک.م.م مخرج‌های $۲$ و $۳$ عدد $۶$ است.
$ (\frac{۱ \times ۳}{۲ \times ۳}) - (\frac{۱ \times ۲}{۳ \times ۲}) = \frac{۳}{۶} - \frac{۲}{۶} = \frac{۳-۲}{۶} = \frac{۱}{۶} $
۱- حاصل عبارت‌ها را به دست آورید.
برای محاسبه حاصل این عبارات، اعداد را به کسر تبدیل کرده و با استفاده از مخرج مشترک، جمع یا تفریق می‌کنیم.
- $ -۲ + \frac{۳}{۵} = -\frac{۱۰}{۵} + \frac{۳}{۵} = \frac{-۱۰+۳}{۵} = -\frac{۷}{۵} $
- $ -۲ - \frac{۵}{۳} = -\frac{۶}{۳} - \frac{۵}{۳} = \frac{-۶-۵}{۳} = -\frac{۱۱}{۳} $
- $ -\frac{۳}{۸} - \frac{۵}{۱۲} $: ک.م.م $۸$ و $۱۲$ برابر با $۲۴$ است.
$ -\frac{۹}{۲۴} - \frac{۱۰}{۲۴} = \frac{-۹-۱۰}{۲۴} = -\frac{۱۹}{۲۴} $
- $ -\frac{۴}{۱۵} + \frac{۴}{۵} $: ک.م.م $۱۵$ و $۵$ برابر با $۱۵$ است.
$ -\frac{۴}{۱۵} + \frac{۱۲}{۱۵} = \frac{-۴+۱۲}{۱۵} = \frac{۸}{۱۵} $
- $ ۷\frac{۱}{۳} - ۱۰\frac{۱}{۴} = \frac{۲۲}{۳} - \frac{۴۱}{۴} $: ک.م.م $۳$ و $۴$ برابر با $۱۲$ است.
$ \frac{۸۸}{۱۲} - \frac{۱۲۳}{۱۲} = \frac{۸۸-۱۲۳}{۱۲} = -\frac{۳۵}{۱۲} $
- $ -۴\frac{۱}{۵} - ۲\frac{۱}{۲} = -\frac{۲۱}{۵} - \frac{۵}{۲} $: ک.م.م $۵$ و $۲$ برابر با $۱۰$ است.
$ -\frac{۴۲}{۱۰} - \frac{۲۵}{۱۰} = \frac{-۴۲-۲۵}{۱۰} = -\frac{۶۷}{۱۰} $
- $ -۲\frac{۱}{۲} + ۳\frac{۱}{۳} = -\frac{۵}{۲} + \frac{۱۰}{۳} $: ک.م.م $۲$ و $۳$ برابر با $۶$ است.
$ -\frac{۱۵}{۶} + \frac{۲۰}{۶} = \frac{-۱۵+۲۰}{۶} = \frac{۵}{۶} $
